Урок 4

Тема: Поняття про неперервність та границю функції в точці

Побудуємо графік функції f(x) = х + 1 . Якщо х наближається до 1, то зна­чення у наближається до 2.

Говорять, що границя функції f(x) при х, що наближається до 1, дорівнює 2 і запи­сується:

Розглянемо другий приклад.

Побудуємо графік функції g(x) =
і розглянемо  поведінку цієї функції при х, близьких до 1.

Функція g(x) =визначена при 

х(-; 1)(1; +) і графік являє собою пряму у = х + 1 з виколотою точкою х = 1

,  бо функція g(x) =не визначена в точці х = 1.

Якщо х наближається до 1 (зліва чи справа), то у наближається до 2 (відпов­ідно знизу чи зверху).

 Отже, 

Виконання вправ

1. Використовуючи графіки функцій, з'ясуйте:

1) Чи має границю функція в точці х, що прямує до 2? Якщо має, то чому дорівнює ця границя?

2) Чи залежить існування границі функції в точці від визначе­ності функції в цій точці?

3) Якщо функція визначена в точці, то чи завжди границя функ­ції дорівнює значенню функції в цій точці? 2. Користуючись графіком, знайти границі (якщо вони існують): 

 Осмислення поняття границі функції.

Нехай задано деяку функцію, наприклад, f(x) = 2х + 1. Розглянемо таблицю значень цієї функції в точках, що досить близько розташовані до числа 1 (і в самій точці 1), та знайдемо |х – 1| та |f(x) – 3| у відповідних точках.

х	0,5	0,8	0,9	0,99	0,999	1	1,001	1,01	1,1	1,5
f(x)	2	2,6	2,8	2,98	2,998	3	3,002	3,02	3,2	4
|х – 1|	0,5	0,2	0,1	0,01	0,001	0	0,001	0,01	0,1	0,5
|f(x) – 3|	1	0,4	0,2	0,02	0,002	0	0,002	0,02	0,2	1

З таблиці видно, що при наближенні значення аргументу до чис­ла 1 значення функції наближається до числа 3, при цьому по­хибка значень функції може бути досягнена як завгодно малою, шляхом зменшення похибки аргументу. Дійсно, взявши довільне ε > 0, тоді |f(x) – 3| < ε,

або |2х + 1 – 3| < ε; |2х – 2| < ε, 2|х – 1| < ε; |х – 1| <
Отже, щоб похибка значень функції не перевищувала ε > 0, слід  взяти значення х такі, що |х – 1| <

Число b називається границею функції у = f(x) в точці а, якщо для будь-якого ε > 0 існує таке число δ = δ(ε) > 0, що для всіх х: 0 < |х – а| < δ, виконується нерівність |f(x) – b| < ε.